EL NÚMERO “e”

En nuestra exploración del equilibrio ecológico, destacamos la capacidad máxima de un ecosistema para mantener un equilibrio dinámico, un concepto fundamental en ecología. Cuando un ecosistema alcanza su capacidad máxima, su límite de carga, la naturaleza exhibe un fenómeno fascinante: la estabilización de sus poblaciones y recursos. Este fenómeno, intrínsecamente ligado al principio de equilibrio ecológico, encuentra una representación matemática sorprendente en el número neperiano, también conocido como el número “e”.

El número neperiano, a diferencia de ¶ (pi), nació en el mundo matemático después de la creación de los números. Jacob Bernoulli, el primero en reconocer este número en el siglo XVII, estaba estudiando la forma más ventajosa de ganar dinero en el banco. Este número emerge en situaciones donde hay crecimiento continuo, como en modelos de población y recursos, ofreciendo una ventana única para comprender cómo los sistemas naturales gestionan su complejidad y persisten en un estado de armonía sostenible.

PROBLEMA PARA PENSAR:

Supongamos que depositamos $ 1 en un banco que otorga el 100 % de interés anual; entonces a fin de año retiraremos 1 + 1.100/100 = 1 + 1 = 2. Pero, supongamos que en lugar de retirarlo a fin de año, lo retiro a mitad de año y vuelvo a depositar todo el monto en la otra mitad de ese año; entonces retiraremos a mitad de año: 1 + 1.1/2 . 100/100 = 1+ 1/2 y para los últimos 6 meses retiraremos (1 + 1/2 ) + (1 + 1/2 ). 1/2 . 100/100 = (1 + 1/2 ).(1 + 1/2 ) por factor común. Pero por definición de multiplicación repetida nos queda (1 + 1/2 ) ² = (3/2 ) ² = 9/4 = 2,25. Observemos que si dividimos el depósito en dos periodos nos da más que $ 2.

¿Y si lo retiramos cada 4 meses y lo volvemos a depositar? Entonces a fin de año tendremos (1 + 1/3 ) ³= (4/3 ) ³ = 64/27 = 2,37. Observemos que en 3 periodos aumenta aún más el monto a retirar a fin de año. ¿Y si lo retiramos cada 3 meses y lo volvemos a depositar? Entonces a fin de año tendremos (1 + 1/4 ) 4= (5/4 ) 4 = 625/256 = 2,44. Observemos que en 3 periodos aumenta aún más el monto a retirar a fin de año. Entonces, si dividimos en más números de periodos el año, ¿podremos obtener más dinero a fin de año? Veamos; si retiramos cada 2 meses, lo estamos dividiendo al año en 5 periodos, por lo que el monto a retirar a fin de año será (1 + 1/6) 6= 2,52; cada 1 mes será (1 + 1/12 ) 12= 2,61. Parece que seguirá aumentando, pero para no seguir con estas operaciones aritméticas, vamos a generalizar para “n” periodos y poder graficarlo con GeoGebra y analizar su comportamiento antes de aventurarnos a alguna conclusión errónea. Entonces para “n” periodo tendremos (1 + 1/n) n cuya gráfica es:

Observamos que por más que vayamos aumentando el valor de x que se ve en el vector de color verde, su resultado que se ve en el vector de color azul no pasa de $ 2,7, por lo que este valor nos pone un límite a nuestro sentido común que podría haber pensado que el monto seguiría creciendo, pero ¡NO! Tiene un límite; es decir un valor a cual tiene a medida que va aumentando el número de periodo n y éste es el numero “e” cuyo valor es 2,7182818284... y que en el mundo matemático se define como el límite de la expression (1 + 1/n) n a medida que n tienda a un valor más grande que simbólicamente es

Lim (1 + 1/n)n = e
n→∞

Que es muy útil para estudiar los fenómenos de crecimiento exponencial en la naturaleza que ya sabemos que no pueden crecer infinitamente pues pondría en peligro en equilibrio de la naturaleza a su propia existencia.

A MODO DE REFLEXIÓN:

El texto nos invita a reflexionar sobre la relación entre el crecimiento exponencial y los límites naturales de los sistemas. Aunque la tentación de maximizar los retornos a corto plazo es evidente, debemos recordar que los sistemas naturales tienen límites inherentes y alcanzar un equilibrio sostenible es crucial para la supervivencia a largo plazo. La analogía matemática nos recuerda que incluso en el mundo financiero, donde el crecimiento parece ilimitado, existen límites que deben ser respetados. Esta reflexión nos lleva a considerar cómo podemos aplicar estos principios en nuestras interacciones con el medio ambiente y cómo podemos trabajar dentro de los límites naturales en lugar de intentar superarlos.

¡HASTA EL PROXIMO DOMINGO!